CAPÍTULO 3: REVISION DE TRABAJOS ANTERIORES


Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "CAPÍTULO 3: REVISION DE TRABAJOS ANTERIORES"

Transcripción

1 CAPÍTULO 3: REVISION DE TRABAJOS ANTERIORES Este capítulo tratará de explicar de modo conciso el problema de estudio desde la revisión de las tesis de Barroso [1] y Vicentini [2]. El problema general, tal y como se vio en el capítulo 1, trata de estudiar los estados singulares de tensión en esquinas multimateriales, en concreto su aplicación a las uniones adhesivas a doble solape de materiales compuestos (figura 3.1). Se intenta, por tanto, conseguir un procedimiento general de evaluar el fallo en dichas esquinas multimateriales. La falta de simetría en el estado tensional y que los materiales sean no isótropos hacen muy difícil el definir un procedimiento estándar de determinación del fallo de la unión Tesis de referencia Tesis de Barroso [1] La contribución de [1] se centró fundamentalmente en los pasos a desarrollar para poder llegar a dictaminar el fallo del problema de estudio (figura 3.1): el estudio tensional detallado de la unión mediante técnicas analíticas y numéricas, caracterización e identificación de los mecanismos de fallo que se pueden activar y un programa de ensayos experimental específicamente diseñado a tal efecto. Trató de ver qué parámetros del estado tensional controlan, o son los responsables del fallo de la unión. Fig. 3.1: Problema de estudio Página 41 de 104

2 El enfoque adoptado se basa en estados locales de tensión en la esquina, por lo que se tiene una estructura del estado tensional y de los desplazamientos del siguiente tipo (ecuaciones 3.1): (α=r,θ) (Ecs. 3.1) Donde se ha definido un sistema de referencia polar centrado en el vértice de la esquina y r es la distancia al vértice, L una distancia característica del problema, Kk son los coeficientes del desarrollo en serie denominados factores de intensificación de tensiones generalizados (GSIFs), λk son los exponentes característicos (y 1- λk los órdenes de singularidad en tensiones) y fijk(θ) y gik(θ) las funciones características. - Los exponentes y funciones características λk, fijk(θ) y gik(θ) respectivamente, sólo dependen de la geometría y condiciones de contorno locales, las propiedades de los materiales y acciones locales como pueden ser la distribución de temperaturas, independientemente de la geometría y distribución de cargas lejanas. Dado este carácter local de λk, fijk(θ) y gik(θ), su determinación se puede abordar, cuando sea posible, con herramientas analíticas y con un alto grado de precisión y sin necesidad de tener en cuenta el problema completo, lo cual les confiere cierto grado de universalidad, puesto que una configuración local idéntica en otro problema tendría los mismos exponentes y funciones características. Para la determinación de dichos exponentes y funciones se generó un programa de Mathematica que recibe por fichero la geometría y propiedades de los materiales evalúa semianalíticamente los valores de λk y numéricamente los valores de fijk(θ) y gik(θ). - Los GSIFs (Kk) representan en la ecuación el peso de cada término en el desarrollo en serie. En este caso sí influyen las condiciones de geometría y cargas de todo el problema. Para su análisis se utilizó un código de Elementos de Contorno desarrollado en [13]. Página 42 de 104

3 Tesis de Vicentini [2] El objeto de [2] fue profundizar en el problema de estudio para culminar con la propuesta de un nuevo procedimiento de ensayo para la predicción del fallo y la caracterización de la unión en los valores críticos de los GSIFs, como se verá en profundidad en el apartado 3.4. Para ello se estudia la validez de la hipótesis del modelo 2D frente al 3D, el análisis de la plasticidad para poder descartarlo en nuestro estudio, el efecto de la temperatura de curado, que también se descartará en nuestro estudio y el estudio a fatiga de la unión Modelo de fallo propuesto Introducción Los campos de tensiones y desplazamientos en las inmediaciones de una esquina multimaterial y anisótropa, asumiendo elasticidad lineal en 2D y un sistema polar de coordenadas (r, θ) centrado en la esquina, y con algunas simplificaciones ( por ejemplo no tener en cuenta la posible existencia de términos logarítmicos), se pueden escribir como: (α=r,θ) (Ec. 3.2) Como hemos mencionado anteriormente, los exponentes característicos λk y funciones angulares fαβ(θ) y gα(θ) dependen solamente de la geometría local y las condiciones de contorno en las inmediaciones de la esquina, mientras que los GSIFs, Kk, dependen además de la geometría y cargas globales. De hecho, los GSIFs son proporcionales a la carga. En las configuraciones donde se aplica la ecuación del campo de tensiones dada en la en la ec. 3.1, pueden aparecen singularidades y los GSIFs controlarán el campo tensional local. Si la extensión de la zona plástica en la esquina es pequeña Página 43 de 104

4 comparada con la zona dominada por K (donde la solución de tensiones es aproximadamente correcta solo teniendo en cuenta los primeros términos singulares, con 0<λk<1 ), el comienzo del fallo puede asumirse que está controlado por los valores críticos de Kk, a los que denominaremos Kkc. Para los materiales homogéneos e isótropos, existen ensayos bien definidos para la determinación experimental de los valores de tenacidad a fractura (KIC y KIIC en los casos simétrico y antisimétrico respectivamente), la falta de simetría en el caso de esquinas multimaterial anisótropos hacen difícil el desarrollo de un procedimiento para la determinación de dichos valores. Los exponentes característicos λk y funciones angulares fαβ(θ) y gα(θ) en series deben ser conocidas y estarán basadas en el procedimiento general analítico especificado en [1]. El procedimiento para evaluar Kk se basará en un procedimiento numérico introducido por el Grupo en [14], [15]. La medida de los GSIF críticos (KkC) se basa en la evaluación de Kk en la carga de fallo experimental cuando la distribución de carga externa activa un solo modo singular. El método es sólo válido para esquinas cerradas (con todos los materiales perfectamente pegados, sin límites externos), ya que el procedimiento se basa en el Brazilian-Test (ver anexo 1) introducido simultáneamente por Carneiro y Akazawa Descripción del método La figura 3.2 muestra algunos ejemplos de las esquinas que parecen en una unión adhesiva entre un laminado [0/90]s y aluminio. Además podemos observar los tipos de esquinas que nos podemos encontrar en la unión. Nos centraremos en la esquina tipo (a). Página 44 de 104

5 Fig. 3.2: Tipos de esquina en la unión a solape El método consiste, en un primer paso, en una simulación numérica del Brazilian Test, en el que la muestra es cargada en compresión uniaxial, con una carga P a diferentes ángulos (α) a lo largo del perímetro externo. Asumiendo que el comportamiento es elástico y lineal y usando las herramientas apropiadas, se puede dibujar la evolución de K1 y K2 con el ángulo α (ver figura 3.4). Hay que recordar que los GSIFs están asociados a los valores de λ, por lo que K1 y K2 tienen diferentes unidades (MPa/mm λ-1 ) Se evalúa, por tanto, la esquina bimaterial numéricamente, mediante un programa de elementos finitos, a una carga P FEM y las configuraciones de carga aplicada a α1 y α2. De esta forma, se puede obtener el estado tensional ( y los desplazamientos en cada punto de la malla. Utilizando un ajuste por mínimos cuadrados es posible ajustar el valor del GSIF generando un sistema de ecuaciones lineales obtenido minimizando la diferencia cuadrática en desplazamientos. Dicha diferencia cuadrática Π se evalúa mediante la diferencia entre la solución obtenida por Elementos Finitos (MEF) y la representación asintótica (ec 3.1) (Ec. 3.3) Página 45 de 104

6 donde u MEF α son los desplazamientos del modelo numérico de Elementos Finitos y u ser α los desplazamientos del desarrollo en serie, ver (3.1), particularizados en (r,θ). La función del error cuadrático Π, incorpora tres sumatorios. El sumatorio en α contabiliza el error utilizando sólo una componente de los desplazamientos si A=1 y con las dos componentes (ur y uθ) si A=2. Dado que con el MEF sólo se discretizan los contornos de los sólidos, al vértice de cada esquina confluyen N+1 aristas en caso de esquinas abiertas (siendo N el número de materiales) y N en caso de esquinas cerradas, de forma que el sumatorio en j contabiliza el número de aristas que participan en la evaluación del error. Finalmente, el sumatorio en n indica el número de nodos (por arista) que se toman para evaluar Π. Por supuesto, en el modelo se pueden añadir puntos internos, cercanos al vértice, que también se pueden introducir en la evaluación de Π. La figura 3.3 muestra un esquema del grupo de nodos que participan en la evaluación de Π. Fig. 3.3: Parámetros A, M y N que participan en la evaluación de Π La mejor solución para Kk, en el sentido de mínimos cuadrados, viene dada por la solución del sistema de n ecuaciones lineales de la ecuación 3.4: (Ec. 3.4) Una vez que se obtienen los GSIFs asociados a cada valor de α, se observa que las curvas de K1 y K2 cortan al eje en los ángulos α1 y α2 respectivamente, tal y como puede verse en la figura 3.4. Por tanto, en esas configuraciones, se anulará uno de los términos singulares y el estado tensional local estará gobernado por un solo valor de K, y se podrá calcular el Kc asociado al modo que no se anula. Página 46 de 104

7 Fig. 3.4: Procedimiento de ensayo uniaxial y evolución de K k con α El siguiente paso del modelo es ensayar experimentalmente la esquina bimaterial en la configuración del Brazilian Test hasta el fallo de la misma, en las configuraciones de carga a α1 y α2 con lo que se obtendrá la carga de fallo P exp y por tanto la tensión nominal de fallo. De esta manera, tal y como se explica detalladamente en [4], para las configuraciones α1 y α2 se tiene: (Ec. 3.5) Y por tanto: (Ec. 3.6) Definiendo un criterio de fallo en término de la resistencia del especímen, aparecen algunos efectos de escala. Aplicando un análisis dimensional, los GSIFs pueden expresarse como (k=1,2) (Ec. 3.7) Donde Ak es un factor de forma, el inverso de una de las funciones angulares, y r=r, la longitud característica (el radio en este caso). Página 47 de 104

8 Por último, se propone como criterio de fallo basado en la tenacidad a fractura, la siguiente ecuación: (Ec. 3.8) Donde es el módulo normalizado de los GSIF (magnitud adimensional), y ψ es el ángulo normalizado de los modos de fractura,. Aunque la definición tradicional suele ser tanψ=(k2/k1), en este caso se han incluido los valores de KiC, debido a que K1 y K2 tienen diferentes unidades, por lo que se hace necesario adimensionalizarlos. La parametrización de (ψ,kc(ψ)) define una curva hipotética de fallo basada en los conceptos de Tenacidad a Fractura Generalizada Aplicación a una esquina bimaterial real Se va a aplicar el procedimiento introducido en el punto anterior a la esquina bimaterial de la figura formada por los materiales vistos en el capítulo 2, un laminado de composite CFRP AS4/8552 a 0 y el adhesivo FM-73M.06 de Cytec con las siguientes propiedades mostradas en la figura 3.5: Fig. 3.5: Propiedades de la esquina bimaterial real estudiada Siguiendo el procedimiento descrito por Barroso et al. en [16] se pueden calcular los exponentes característicos λk. Así se han calculado los tres primeros exponentes característicos: Página 48 de 104

9 λ1= λ2= λ3= Como se observa, la esquina bimaterial de estudio tiene λ3>1 por lo que en la expresión del campo tensional, el tercer término asociado a λ3 tenderá a cero cuando r tiende a 0, y por tanto, en las inmediaciones de la esquina las tensiones están dominadas por solo dos términos singulares. (Ec. 3.9) Para las funciones angulares asociadas a λ1, λ2 y, λ3 se han utilizado los resultados propuestos en [16], y que se muestran en las figuras 3.6, 3.7 y 3.8 respectivamente: Fig. 3.6: Funciones angulares asociada a α 1 en (ec 3.1) Página 49 de 104

10 Fig. 3.7: Funciones angulares asociada a α 2 en (ec 3.1) Fig. 3.8: Funciones angulares asociada a α 3 en (ec 3.1) Los GSIFs, Kk, tal y como se ha explicado en el apartado anterior pueden ser obtenidos analizando la muestra con elementos finitos y procediendo a un ajuste por mínimos cuadrados en tensiones. Se usó un modelo de elementos finitos (figura 3.9) con una malla regular con nodos en las líneas radiales cada 5 y 200 nodos por línea radial, lo que provoca un refinamiento de la malla cerca de la esquina. La carga P FEM se consideró 100 N. Se han utilizado elementos planos de 4 nodos y dos grados de libertad en desplazamiento (ux y uy) Página 50 de 104

11 Fig. 3.9: Modelo de elementos finitos Para el ajuste en mínimos cuadrados se tienen en cuanta los 22 nodos encuadrados en el entorno de 0.1%R, es decir, en el rango R<r< R, en cada una de las interfaces entre el adhesivo y CFRP. Se puede encontrar un análisis del porqué se eligen los nodos en ese entorno en [2]. Mediante dicho análisis de elementos finitos y variando el ángulo de compresión de la muestra, α, se puede obtener por tanto la curva 3.10: Fig. 3.10: Evolución de K 1 y K 2 con α Página 51 de 104

12 Donde observamos los valores de α, α1= 13 y α2=60 que anulan los GSIFs. Adicionalmente, también anulan los GSIFs para los valores α=115 y α=143. Estos cuatro casos deberán ser analizados, además de casos adicionales donde ninguno de los GSIFs se anula, pero que servirán para conseguir más puntos de la envolvente de fallo. Como hemos comentado, hay dos configuraciones de carga para los cuales K1 y K2 se anulan. Obviamente, la elección, por ejemplo de α1= 13 o 115, llevaría a valores distintos de K1C (que pueden ser escritos como K + 1C>0 y K - 1C<0), lo cual es conceptualmente aceptable, ya que corresponden a estados tensionales distintos. Para los valores α1= 13, se obtienen las curvas 3.11 y 3.12 y para α2=60 las figuras 3.13 y 3.14, que muestran los desplazamientos, uα y tensiones, σαβ, para cada ángulo θ a una distancia r=0.001r de la esquina: - α1=13 Fig. 3.11: Resultados por FEM y series de expansión de (a) u r y (b) u θ para α 1=13 y r=0.001r Página 52 de 104

13 Fig. 3.12: Resultados por FEM y series de expansión de (a) σ θ y (b) σ rθ y (c) σ r para α=13 y r=0.001r Página 53 de 104

14 - α2=60 Fig. 3.13: Resultados por FEM y series de expansión de (a) u r y (b) u θ para α 2=60 y r=0.001r Página 54 de 104

15 Fig. 3.14: Resultados por FEM y series de expansión de (a) σ θ y (b) σ rθ y (c) σ r para α 2=60 y r=0.001r Página 55 de 104

16 Una vez conocidas la parte analítica y numérica del problema, es necesario, tal y como se comentó en el punto 3.4.2, realizar los ensayos físicos sobre las probetas mediante Brazilian Test para cerrar el problema. En [2] se ensayaron 26 probetas, 4 para α= 0 y 90 y 3 para α= 13, 30, 60, 115, 120 y 143 y 1 α= 150. En el capítulo 5, se explicará en detalle el proceso de fabricación seguido en este proyecto que es el mismo que propuesto por [2]. Una vez obtenida la carga de fallo para cada probeta, se pueden obtener los GSIF críticos de la siguiente manera, para los valores α= 13 y 60 con la ecuación 3.6. (Ec. 3.10) Y para el resto de configuraciones de α ensayadas: (Ec. 3.11) Con estos valores K1C y K2C, es posible adimensionalizar los valores de K1 y K2 obtenidos para cada probeta. Y por tanto, se puede dibujar la envolvente de fallo buscada (fig 3.15) que delimita la zona donde la unión puede trabajar de manera segura sin que ocurra el fallo. Página 56 de 104

17 Second quadrant 60º < a < 115º 1,5 K2/K2C First quadrant 13º < a < 60º a = 90º UNSAFE 1 a = 60º envelope for the average failure SAFE 0,5 C ( ) K1/K1C a = 115º 0-1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 a = 13º a = 120º a = 30º Third quadrant 115º < a < 143º -0,5 a = 143º a = 150º -1 a = 0º = 180º Fourth quadrant 143º < a < 193º -1,5 Experimental values Average experimental values Barroso (2007, 2009) Fig. 3.15: Envolvente de fallo [2] En los capítulos 4 y 5, se repetirá el método explicado en este capítulo para conseguir más puntos de la envolvente de fallo en el tercer cuadrante, es decir, 115 <α<143. El motivo por el que se hace necesario el estudio en profundidad de dicho cuadrante, es que se corresponde con el estado tensional que aparece en la unión a doble solape trabajando a tracción (figura 3.1) y que corresponde al problema de estudio. Página 57 de 104

Sitemap